目錄
- 一、創(chuàng)建圖
- 二、問(wèn)題來(lái)源
- 三、Dijkstra算法
- 四、Floyd算法
- 五、代碼測(cè)試
一、創(chuàng)建圖
在開(kāi)始之前，我們先創(chuàng)建一個(gè)圖，使用鄰接矩陣表示有向網(wǎng)：
class Graph(object):
"""
以鄰接矩陣為存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)創(chuàng)建有向網(wǎng)
"""
def __init__(self, kind):
# 圖的類(lèi)型: 無(wú)向圖, 有向圖, 無(wú)向網(wǎng), 有向網(wǎng)
# kind: Undigraph, Digraph, Undinetwork, Dinetwork,
self.kind = kind
# 頂點(diǎn)表
self.vertexs = []
# 邊表, 即鄰接矩陣, 是個(gè)二維的
self.arcs = []
# 當(dāng)前頂點(diǎn)數(shù)
self.vexnum = 0
# 當(dāng)前邊(弧)數(shù)
self.arcnum = 0
def CreateGraph(self, vertex_list, edge_list):
"""
創(chuàng)建圖
:param vertex_list: 頂點(diǎn)列表
:param edge_list: 邊列表
:return:
"""
self.vexnum = len(vertex_list)
self.arcnum = len(edge_list)
for vertex in vertex_list:
vertex = Vertex(vertex)
# 頂點(diǎn)列表
self.vertexs.append(vertex)
# 鄰接矩陣, 初始化為無(wú)窮
self.arcs.append([float('inf')] * self.vexnum)
for edge in edge_list:
ivertex = self.LocateVertex(edge[0])
jvertex = self.LocateVertex(edge[1])
weight = edge[2]
self.InsertArc(ivertex, jvertex, weight)
def LocateVertex(self, vertex):
"""
定位頂點(diǎn)在鄰接表中的位置
:param vertex:
:return:
"""
index = 0
while index self.vexnum:
if self.vertexs[index].data == vertex:
return index
else:
index += 1
def InsertArc(self, ivertex, jvertex, weight):
"""
創(chuàng)建鄰接矩陣
:param ivertex:
:param jvertex:
:param weight:
:return:
"""
if self.kind == 'Dinetwork':
self.arcs[ivertex][jvertex] = weight
有關(guān)鄰接矩陣中頂點(diǎn)結(jié)點(diǎn)Vertex()的定義可以參考這篇博客，這里就不在貼出相應(yīng)的代碼了。
二、問(wèn)題來(lái)源
假如我從城市 A A A出發(fā)坐火車(chē)去其他城市旅游，那么如何規(guī)劃路線使所花費(fèi)的車(chē)票錢(qián)最少呢？若將上述圖中的城市看成有向網(wǎng)中的頂點(diǎn)，并將兩城市之間所需要的車(chē)票錢(qián)看做對(duì)應(yīng)弧的權(quán)值，那么這一問(wèn)題的本質(zhì)就是求兩個(gè)頂點(diǎn)之間權(quán)值最小的路徑，簡(jiǎn)稱(chēng)最短路徑 ( S h o r t e s t (Shortest (Shortest P a t h ) Path) Path)。
三、Dijkstra算法
D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法，中文名叫迪杰斯特拉算法，它常用于求解源點(diǎn)到其余頂點(diǎn)的最短路徑。
假設(shè) G = { V , { A } } G=\{V, \{A\}\} G={V,{A}}是含有 n n n個(gè)頂點(diǎn)的有向網(wǎng)，以該圖中的頂點(diǎn) v v v為源點(diǎn)，使用 D i j k s t r a
Dijkstra Dijkstra算法求頂點(diǎn) v v v到圖中其余各頂點(diǎn)的最短路徑的基本思路如下：
(1) 使用集合 S S S記錄已求得最短路徑的終點(diǎn)，初始時(shí) S = { v } S=\{v\} S={v}；
(2) 選擇一條長(zhǎng)度最短的路徑，該路徑的終點(diǎn) w ∈ V − S w\in V-S w∈V−S，將 w w w并入 S S S，并將該最短路徑的長(zhǎng)度記為 D w D_w Dw；
(3) 對(duì)于 V − S V-S V−S中任一頂點(diǎn) s s s，將源點(diǎn)到頂點(diǎn) s s s的最短路徑長(zhǎng)度記為 D s D_s Ds，并將頂點(diǎn) w w w到頂點(diǎn) s s s的弧的權(quán)值記為 D w s D_{ws} Dws，若 D w + D w s D s D_w+D_{ws}D_s Dw+DwsDs，則將源點(diǎn)到頂點(diǎn) s s s的最短路徑的長(zhǎng)度修改為 D w + D w s D_w+D_{ws} Dw+Dws；
(4) 重復(fù)執(zhí)行上述操作，直到 S = V S=V S=V。
D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法有些 P r i m Prim Prim算法的影子，這里使用一個(gè)輔助列表Dist，用來(lái)存儲(chǔ)源點(diǎn)到每一個(gè)終點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度，列表Path來(lái)存儲(chǔ)每一條最短路徑中倒數(shù)第二個(gè)頂點(diǎn)的下標(biāo)(弧尾下標(biāo))，除此之外還需要一個(gè)列表flag來(lái)記錄頂點(diǎn)是否已求得最短路徑。下面結(jié)合著 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法來(lái)分析一下上面的那個(gè)有向網(wǎng)：
(1) 這里要做的就是更新列表Dist和列表Path，假如以頂點(diǎn) A A A為起始點(diǎn)，先將它加入 S S S中，然后尋找以頂點(diǎn) A A A為弧尾的最短路徑，這里找到了頂點(diǎn) B B B，然后繼續(xù)找下一個(gè)頂點(diǎn)。這個(gè)時(shí)候就要做一個(gè)判斷了，即 D w + D w s D s D_w+D_{ws}D_s Dw+DwsDs是否成立，這里的頂點(diǎn) s s s有兩種選擇，要么是頂點(diǎn) C C C，要么是頂點(diǎn) D D D，因?yàn)檫@兩個(gè)頂點(diǎn)都是以頂點(diǎn) w w w(即頂點(diǎn) B B B)為弧尾，按照順序，這個(gè)時(shí)候先選擇了頂點(diǎn) C C C，經(jīng)判斷： D A B + D B C D A C D_{AB}+D_{BC}D_{AC} DAB+DBCDAC(即 4 + 3 = 7 8 4+3=78 4+3=78)成立，然后更新源點(diǎn)到頂點(diǎn) s s s(即頂點(diǎn) C C C)的距離為7。這個(gè)時(shí)候頂點(diǎn) s s s又選擇了頂點(diǎn) D D D，經(jīng)判斷： D A B + D B D D A D D_{AB}+D_{BD}D_{AD} DAB+DBDDAD(即 4 + 8 = 12 ∞ 4+8=12\infty 4+8=12∞)成立，然后更新源點(diǎn)到頂點(diǎn) s s s(即頂點(diǎn) D D D)的距離為12。
(2) 然后尋找以頂點(diǎn) C C C為弧尾的最短路徑，這里找到了頂點(diǎn) E E E，然后做一個(gè)路徑長(zhǎng)度判斷，經(jīng)判斷： D A C + D C E D A E D_{AC}+D_{CE}D_{AE} DAC+DCEDAE(即 7 + 1 = 8 ∞ 7+1=8\infty 7+1=8∞)成立，然后更新源點(diǎn)到頂點(diǎn) s s s(即頂點(diǎn) E E E)的距離為8，然后又找到了頂點(diǎn) F F F，然后做一個(gè)路徑長(zhǎng)度判斷，經(jīng)判斷： D A C + D C F D A F D_{AC}+D_{CF}D_{AF} DAC+DCFDAF(即 7 + 6 = 13 ∞ 7+6=13\infty 7+6=13∞)成立，然后更新源點(diǎn)到頂點(diǎn) s s s(即頂點(diǎn) F F F)的距離為13。
(3) 直至計(jì)算出所有源點(diǎn)到其余頂點(diǎn)的距離。
D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法代碼實(shí)現(xiàn)如下：
def Dijkstra(self, Vertex):
"""
Dijkstra算法, 計(jì)算源點(diǎn)Vertex到其余各頂點(diǎn)的最短距離
:param Vertex:
:return:
"""
# 源點(diǎn)到每一個(gè)終點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度
Dist = []
# 每一條最短路徑中倒數(shù)第二個(gè)頂點(diǎn)的下標(biāo)(弧尾下標(biāo))
Path = []
# 記錄頂點(diǎn)是否已求得最短路徑
flag = [False] * self.vexnum
index = 0
while index self.vexnum:
Dist.append(self.arcs[Vertex][index])
if self.arcs[Vertex][index] float('inf'):
# 存放弧尾下標(biāo)
Path.append(Vertex)
else:
Path.append(-1)
index += 1
# 以頂點(diǎn)Vertex為源點(diǎn)
Dist[Vertex] = 0
Path[Vertex] = 0
flag[Vertex] = True
index = 1
while index self.vexnum:
minDist = float('inf')
# 尋找源點(diǎn)到下一個(gè)頂點(diǎn)wVertex的最短路徑
for i in range(self.vexnum):
if not flag[i] and Dist[i] minDist:
wVertex = i
minDist = Dist[i]
flag[wVertex] = True
sVertex = 0
minDist = float('inf')
# 更新源點(diǎn)到終點(diǎn)sVertex的最短路徑
while sVertex self.vexnum:
if not flag[sVertex]:
if self.arcs[wVertex][sVertex] minDist and \
Dist[wVertex] + self.arcs[wVertex][sVertex] Dist[sVertex]:
# 距離更新
Dist[sVertex] = Dist[wVertex] + self.arcs[wVertex][sVertex]
Path[sVertex] = wVertex
sVertex += 1
index += 1
# 輸出信息
self.ShortestPathDijkstra(Vertex, Dist, Path)
def ShortestPathDijkstra(self, Vertex, Dist, Path):
"""
輸出從頂點(diǎn)Vertex到其余頂點(diǎn)的最短路徑
:param Vertex:
:param Dist:
:param Path:
:return:
"""
tPath = []
index = 0
while index self.vexnum:
# index是路徑終點(diǎn)
if index != Vertex:
print('頂點(diǎn)' + self.vertexs[Vertex].data + '到達(dá)頂點(diǎn)' + self.vertexs[index].data + '的路徑及長(zhǎng)度為:')
# 從源點(diǎn)Vertex到終點(diǎn)index中間有可能經(jīng)過(guò)了多個(gè)頂點(diǎn)
tPath.append(index)
former = Path[index]
while former != Vertex:
tPath.append(former)
former = Path[former]
tPath.append(Vertex)
while len(tPath) > 0:
print(self.vertexs[tPath.pop()].data, end='')
print('\t\t%d' % Dist[index])
index += 1
四、Floyd算法
F l o y d Floyd Floyd算法，中文名叫弗洛伊德算法，它常用于求解求解每一對(duì)頂點(diǎn)之間的最短路徑。
假設(shè) G = { V , { A } } G=\{V, \{A\}\} G={V,{A}}是含有 n n n個(gè)頂點(diǎn)的有向網(wǎng)，使用 F l o y d Floyd Floyd算法求圖中每一對(duì)頂點(diǎn)間的最短路徑的基本思路如下：
(1) 對(duì)于圖 G G G中任意兩個(gè)頂點(diǎn) v v v和 w w w，將頂點(diǎn) v v v和頂點(diǎn) w w w的最短路徑的長(zhǎng)度記為 D v w D_{vw} Dvw，并依次判斷其余各頂點(diǎn)是否為這兩個(gè)頂點(diǎn)間最短路徑上的頂點(diǎn)。對(duì)于除了頂點(diǎn) v v v和頂點(diǎn)頂點(diǎn) w w w的任意頂點(diǎn) u u u，將頂點(diǎn) v v v和頂點(diǎn) u u u的最短路徑的長(zhǎng)度記為 D v u D_{vu} Dvu，并頂點(diǎn) u u u和頂點(diǎn) w w w的最短路徑的長(zhǎng)度記為 D u w D_{uw} Duw，若 D v u + D u w D v w D_{vu}+D_{uw}D_{vw} Dvu+DuwDvw，則將 D v w D_{vw} Dvw的值修改為 D v u + D u w D_{vu}+D_{uw} Dvu+Duw，即頂點(diǎn) v v v和頂點(diǎn) w w w的最短路徑經(jīng)過(guò)頂點(diǎn) u u u；
(2) 重復(fù)上述過(guò)程，直至圖中每一頂點(diǎn)間的最短路徑都被求出。
當(dāng)然了，也可以對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)使用 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法來(lái)求得每對(duì)頂點(diǎn)的最短路徑。對(duì)于 F l o y d Floyd Floyd算法，這里使用一個(gè)輔助二維數(shù)組Dist，用來(lái)存儲(chǔ)源點(diǎn)到每一對(duì)頂點(diǎn)間的最短路徑長(zhǎng)度，二維數(shù)組Path來(lái)存儲(chǔ)每一條最短路徑中倒數(shù)第二個(gè)頂點(diǎn)的下標(biāo)(弧尾下標(biāo))。下面結(jié)合著 F l o y d Floyd Floyd算法來(lái)分析一下最上面的那個(gè)有向網(wǎng)（由于頂點(diǎn)對(duì)較多，這里選擇 A − I A-I A−I的最短路徑進(jìn)行說(shuō)明）：
F l o y d Floyd Floyd算法代碼實(shí)現(xiàn)如下：
def Floyd(self):
"""
Floyd算法, 計(jì)算每一對(duì)頂點(diǎn)間的最短距離
:return:
"""
Dist = [[0 for _ in range(self.vexnum)] for _ in range(self.vexnum)]
Path = [[0 for _ in range(self.vexnum)] for _ in range(self.vexnum)]
for row in range(self.vexnum):
for column in range(self.vexnum):
Dist[row][column] = self.arcs[row][column]
if self.arcs[row][column] float('inf') and row != column:
Path[row][column] = row
else:
Path[row][column] = -1
# 判斷圖中任意兩個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑是否經(jīng)過(guò)了結(jié)點(diǎn)uVertex
for uVertex in range(self.vexnum):
for vVertex in range(self.vexnum):
for wVertex in range(self.vexnum):
if vVertex != wVertex and \
Dist[vVertex][uVertex] + Dist[uVertex][wVertex] Dist[vVertex][wVertex]:
Dist[vVertex][wVertex] = Dist[vVertex][uVertex] + Dist[uVertex][wVertex]
Path[vVertex][wVertex] = Path[uVertex][wVertex]
# 輸出每一組頂點(diǎn)間的最短路徑
self.ShortestPathFloyd(Dist, Path)
def ShortestPathFloyd(self, Dist, Path):
"""
輸出每一組頂點(diǎn)間的最短路徑
:param Dist:
:param Path:
:return:
"""
tPath = []
for start in range(self.vexnum):
for end in range(self.vexnum):
if start != end and Dist[start][end] float('inf'):
print('從頂點(diǎn)' + self.vertexs[start].data + '到頂點(diǎn)' + self.vertexs[end].data +
'的路徑及長(zhǎng)度為:')
tVertex = Path[start][end]
tPath.append(end)
while tVertex != -1 and tVertex != start:
tPath.append(tVertex)
tVertex = Path[start][tVertex]
tPath.append(start)
while len(tPath) > 0:
print(self.vertexs[tPath.pop()].data, end='')
print('\t\t%d' % Dist[start][end])
五、代碼測(cè)試
測(cè)試代碼如下：
if __name__ == '__main__':
graph = Graph(kind='Dinetwork')
graph.CreateGraph(vertex_list=['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I'],
edge_list=[('A', 'B', 4), ('A', 'C', 8), ('B', 'C', 3), ('B', 'D', 8),
('C', 'E', 1), ('C', 'F', 6), ('D', 'G', 7), ('D', 'H', 4),
('E', 'D', 2), ('E', 'F', 6), ('F', 'H', 2), ('G', 'I', 9),
('H', 'G', 14), ('H', 'I', 10)])
print('{:*^30}'.format('Dijkstra算法'))
# 起始位置的index為0
graph.Dijkstra(0)
print('{:*^30}'.format('Floyd算法'))
graph.Floyd()
測(cè)試結(jié)果如下：
這里只看了一條，就是從頂點(diǎn) A A A到頂點(diǎn) I I I的路徑，可以看到 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法和 F l o y d Floyd Floyd算法求得的最短路徑都是24。
到此這篇關(guān)于Python實(shí)現(xiàn)最短路徑問(wèn)題的方法的文章就介紹到這了,更多相關(guān)Python最短路徑內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！
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